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Z 9041-2 : 1999  

(1) 

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

まえがき 

この規格は,工業標準化法に基づいて,日本工業標準調査会の審議を経て,通商産業大臣が制定した日

本工業規格である。これによって,JIS Z 9042 : 1962,JIS Z 9043 : 1962,JIS Z 9044 : 1962,JIS Z 9045 : 1962,

JIS Z 9046 : 1965,JIS Z 9047 : 1979,JIS Z 9048 : 1979,JIS Z 9049 : 1965,JIS Z 9050 : 1963,JIS Z 9051 : 

1963,JIS Z 9052 : 1963,JIS Z 9053 : 1963,JIS Z 9054 : 1966,JIS Z 9055 : 1966,JIS Z 9056 : 1979,JIS Z 

9057 : 1966,JIS Z 9058 : 1966,JIS Z 9059 : 1966は廃止され,この規格に置き換えられる。 

今回の改正では,1976年に第1版として発行されたISO 2854を基礎として用いた。 

JIS Z 9041-2には,次に示す附属書がある。 

附属書A(規定) 統計数値表 

JIS Z 9041 : 1998は,一般名称を“データの統計的な解釈方法”として,次の各部によって構成される。 

第1部:データの統計的記述 

第2部:平均と分散に関する検定方法と推定方法 

第3部:割合に関する検定方法と推定方法 

第4部:平均と分散に関する検定方法の検出力 

Z 9041-2 : 1999  

(1) 

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

目次 

ページ 

序文 ··································································································································· 1 

1. 適用範囲 ························································································································ 1 

2. 引用規格 ························································································································ 2 

3. 定義・記号 ····················································································································· 2 

4. 確率変数の平均(,分散(2の推定 ··························································································· 2 

5. 正規分布に従う確率変数の期待値及び分散に関する仮説の検定 ················································ 3 

6. 正規分布に従う確率変数の期待値及び分散の信頼限界 ···························································· 4 

7. 数値例 ··························································································································· 4 

8. 書式 ······························································································································ 5 

附属書A(規定) 統計数値表 ······························································································ 43 

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

日本工業規格          JIS 

Z 9041-2 : 1999 

データの統計的な解釈方法− 

第2部:平均と分散に関する 

検定方法と推定方法 

Statistical Interpretation of Data 

Part 2 : Techniques of estimation and test relating to 

means and variances 

序文 この規格は,1976年に第1版として発行されたISO 2854 : 1976 Statistical interpretation of data−Tech 

niques of estimation and test relating to means and variances, ISO 2602 : 1980 Statistical interpretation of test 

results−Estimation of the mean−Confidence intervalを基礎として作成した日本工業規格である。ただし,現

在進行中のISO/TC 69/SC 3/WG 3によるISO 2854の改訂作業方針で,これにISO 2602 : 1980及びISO 

3301 : 1975 Statistical interpretation of data−Comparison of two means in the case of paired observationsを統合す

ることが決定されているため,この規格にはISO 2602 : 1980及びISO 3301 : 1975の技術的内容を含めた。 

1. 適用範囲 

1.1 

この規格は,次の統計的な取り扱いに必要な方法について規定する。 

a) 確率変数の平均(期待値)又は分散の信頼区間を定める。 

b) 確率変数の平均又は分散の値に関する仮説をサンプルによって検定する。 

1.2 

これらの方法は,測定値が互いに独立な観測から生じたとみなせる場合にだけ有効である。 

有限母集団の場合には,データが独立とみなし得るときに適用できる。これは有限母集団に比べてサン

プルサイズが十分に小さければ成立する。経験則から,サンプルサイズが母集団の大きさの1/10より小さ

いことが望ましいといわれている。 

1.3 

これらの方法の適用に当たっては,確率変数は正規分布に従うと仮定する。対象としているデータ

の集団に関する広はん(汎)な経験からこの仮定が実証可能な場合には,確率変数は正規分布に従うとみ

なすことができる。確率変数が正規分布に従うことを検討する方法は,JIS Z 9041-1又はISO 5479 : 1997

による。 

なお,サンプルに基づかない外的な情報に基づいて正規性の仮説を認める場合もある。正規性の仮説が

棄却された場合には,この規格の方法は用いない方がよい。しかし,正規性の仮説が棄却されなかったか

らといって,確率変数が正規分布に従っている保証はない。確率紙を用いれば,正規性に関するグラフィ

カルな検討が可能であり,正規分布からのずれが大きくなれば非正規性を明らかにすることができよう。

確率紙による方法の適用は,正規分布からのずれのタイプを識別できることもあるので,正規分布の数値

的検討の補助として位置づけられる。 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

確率変数の正規性が疑われる場合は,この規格の方法を用いずに,正規性の仮定を必要としない方法を

用いることが望ましい。 

一方,確率変数の期待値μや分散σ2の不偏推定量として,xやS2を用いる際には正規性の仮定は必要と

しない。 

2. 引用規格 次に掲げる規格は,この規格に引用されることによって,この規格の規定の一部を構成す

る。これらの引用規格は,その最新版(追補を含む)を適用する。 

JIS Z 8101-1 統計−用語と記号−第1部:確率及び一般統計用語 

備考 ISO 3534-1 : 1993 Statistics−Vocabulary and symbols−Part 1 : Probability and general statistical 

termsからの引用事項は,この規格の該当事項と同等である。 

JIS Z 9041-1 データの統計的な解釈方法−第1部:データの統計的記述 

JIS Z 9041-4 データの統計的な解釈方法−第4部:平均と分散に関する検定方法の検出力 

ISO 5479 : 1997 Statistical interpretation of data−Tests for departure from the normal distribution 

3. 定義・記号 

3.1 

用語の定義 この規格で用いる主な用語の定義は,JIS Z 8101-1によるほか,次による。 

a) 標準化正規変量 正規分布に従う確率変数を標準化して得られる確率変数。 

3.2 

記号 この規格で用いる主な記号は,JIS Z 8101-1によるほか,次による。 

x 測定値 

U 標準化正規変量 

uα 標準正規分布の100α%点(下側確率) 

ta (ν)  自由度vのt分布の100α%点(下側確率) 

X2α (ν)  自由度vのX2分布の100α%点(下側確率) 

F (ν1, ν2)  自由度ν1,ν2の分散比統計量 

Fα (ν1, ν2)  自由度ν1,ν2の分散比統計量の100α%点(下側確率) 

4. 確率変数の平均μ,分散σ2の推定値x及びs2の計算 平均値x及び標本分散s2は,一連の測定値の共通

平均μ及び分散σ2の理論的にも実用的にも有用な推定値である。標本標準偏差sは,標準偏差σの有用な推

定値である。 

4.1 

n個の測定値xi,i=1,...,nのx及びs2の計算は,次による。 

n

i

ix

n

x

1

1

−∑

n

i

n

i

i

i

x

n

x

n

s

1

2

1

2

2

1

1

1

4.2 

度数分布において値xjがnj回生じる場合 (j=1,...,k),x及びs2の度数分布からの計算は,次によ

る。 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

k

j

j

n

n

1

k

j

j

jx

n

n

x

1

1

−∑

k

j

k

j

j

j

j

j

x

n

n

x

n

n

s

1

2

1

2

2

1

1

1

4.3 

級分けされた分布からのx及びs2の計算 測定値の個数が十分大きく,例えば50個以上の場合には,

データを級(群)に分割するのが適当なこともある。実際,測定値は,事前に級分けされた形式でだけ利

用可能な場合も多い。級の数をkとし,級jの中心をxjとし,級jに属する測定値の個数をnjとすれば,x

及びs2は4.2の方法で計算できる。この値は,級分けされていない場合の計算の近似値である。 

備考 ここで規定した方法は,データの原点及び/又は単位を変更することによって計算を大幅に減

らすことができる場合が多い。特に,精度の低い電卓又はコンピュータで分散を計算するとき

には,十分な精度を得るために原点を変えることが必要な場合がある。 

5. 正規分布に従う確率変数の期待値及び分散に関する仮説の検定 

5.1 

一般的注意 正規分布に従う確率変数の平均,期待値及び分散に関する主要な帰無仮説と検定の実

用的計算手順を書式化して8.(書式)に示した。これらの手順を適用するためには適切な帰無仮説を選択

する必要がある。対立仮説H1はこの書式に与えられていないが,これは対立仮説は帰無仮説に含まれない

μ,σのすべての値を含むことがあるからである。 

例えば,分散既知の状況で,平均を与えられた値と比較するために書式Aを用いる際には,次の帰無仮

説のいずれかを対応する対立仮説とともに選ばなくてはならない。 

A) 片側検定H0 : μ≧μ0H1 : μ<μ0 

B) 片側検定H0 : μ≦μ0H1 : μ>μ0 

C) 両側検定H0 : μ=μ0H1 : μ≠μ0 

検定の結果は,帰無仮説を棄却するか,棄却できないかのいずれかである。 

帰無仮説の棄却は,対立仮説の受容を意味する。一方,帰無仮説を棄却できないことは,必ずしも帰無

仮説を受容することを意味しない。 

サンプルサイズnと有意水準αを定めるためには,検定のOC関数,すなわち,検出力関数を参考にす

るのが望ましい。この方法については,JIS Z 9041-4に示されている。 

5.2 

平均に関する仮説の処置 書式A,Aʼ及びC,Cʼ並びにK,Kʼは,分散が既知であるか否かによっ

て使い分ける。書式中で,分散σ2が既知の場合には標準正規分布の分位点が,未知の場合にはt分布の分

位点が用いられている。ここで規定する方法の適用の便宜を図るため,α=0.05及びα=0.01に対する標準

正規分布の分位点を附属書Aの表1に,t分布の分位点の値を附属書Aの表2に示す。 

5.3 

分散に関する仮説の処置 書式E〜Hまででは,算術平均が期待値の推定値として用いられている。

算術平均がその期待値で置き換えられる場合には,対応する自由度は1増やすことになる。 

ここで規定する方法の適用の便宜を図るため,α=0.05及びα=0.01に対するX2α (ν),X21−α (ν),X2α/2, (ν) 

X21−α/2 (ν) の値を附属書Aの表3に,F1−α (ν1, ν2) 及びF1−α/2 (ν1, ν2) の値を附属書Aの表4に示す。 

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Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

なお,Fα (ν1, ν2) 及びFα/2 (ν1, ν2) の値は,関係式 

Fα (ν1, ν2) =

)

,

(

1

1

2

1

ν

ν

α

F

から導出することができる。 

6. 正規分布に従う確率変数の期待値及び分散の信頼限界 この規格では,各検定に対応した信頼限界の

決定法も規定している。σ,及びσ1/σ2の信頼限界は,それぞれ,σ2,並びにσ12/σ22の信頼限界の平方根か

ら求めることができる。 

7. 数値例 

7.1 

書式A,Aʼ;B,Bʼ;C,Cʼ,D,Dʼ;E,F,G,Hのための例 8.(書式)を参照する。 

特性と観測の方法 

特性:2種の糸のサンプルについての切断荷重の測定値データ(単位はN)。 

観測の方法:正規性及び外れ値に関する検討が事前に行われている。 

アイテム:糸1は,10個,糸2は12個のデータが取られている。 

表1 糸の切断荷重 (N) の測定値 

糸1 

糸2 

18.4 

18.0 

18.8 

18.2 

19.2 

17.0 

19.9 

18.4 

17.2 

17.9 

20.4 

19.6 

17.8 

17.6 

18.2 

16.2 

19.4 

19.0 

18.6 

16.6 

20.0 

18.0 

7.2 

書式K,Kʼ;L,Lʼのための例 取り扱いについては,8.(書式)を参照する。 

特性:2種の糸のサンプルについての水分含有率 (%) 

アイテム1:n=9の糸のサンプルについて,分析方法1で水分含有率を測定。 

アイテム2:アイテム1の同一サンプルを分析方法2で水分含有率を測定。 

表2 水分含有率 (%) の測定値 

アイテム 

分析方法1による 
水分含有率 

分析方法2による 
水分含有率 

含有率の差 

D=Xi−Yi 

Xi 

Y1 

18.2 

17.0 

 1.2 

20.1 

19.1 

 1.0 

16.4 

17.0 

−0.6 

21.5 

23.0 

−1.5 

16.5 

16.0 

 0.5 

17.4 

18.1 

−0.7 

20.1 

19.3 

 0.8 

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Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

アイテム 

分析方法1による 
水分含有率 

分析方法2による 
水分含有率 

含有率の差 

D=Xi−Yi 

Xi 

Y1 

16.9 

17.6 

−0.7 

19.2 

17.3 

 1.9 

8. 書式 ここでは,次の統計的方法を規定する。各方法は,書式A,Aʼ,B,Bʼ,C,Cʼ,D,Dʼ,E,F,

G,Hの手順に従って実施するのが望ましい。 

a) 与えられた値と平均の比較(分散既知) 

手順は,書式Aによる。 

b) 与えられた値と平均の比較(分散未知) 

手順は,書式Aʼによる。 

c) 平均の信頼限界(分散既知) 

手順は,書式Bによる。 

d) 平均の信頼限界(分散未知) 

手順は,書式Bʼによる。 

e) 二つの対応のない測定値の平均の比較(分散既知) 

手順は,書式Cによる。 

f) 

二つの対応のない測定値の平均の比較(分散未知。ただし,二つの分散を等しいと仮定してよい場合) 

手順は,書式Cʼによる。 

g) 二つの対応のない測定値の平均の比較(分散未知。ただし,二つの分散が等しくない場合) 

手順は,書式C”による。 

h) 二つの対応のない測定値の平均の差の信頼区間(分散既知) 

手順は,書式Dによる。 

i) 

二つの対応のない測定値の平均の差の信頼区間(分散未知。ただし,二つの分散を等しいと仮定して

よい場合) 

手順は,書式Dʼによる。 

j) 

二つの対応のない測定値の平均の差の信頼区間(分散未知。ただし,二つの分散が等しくない場合) 

手順は,書式D”による。 

k) 分散又は標準偏差と与えられた値との比較 

手順は,書式Eによる。 

l) 

分散又は標準偏差の信頼区間 

手順は,書式Fによる。 

m) 二つの分散又は二つの標準偏差の比較 

手順は,書式Gによる。 

n) 二つの分散又は二つの標準偏差の比の信頼区間 

手順は,書式Hによる。 

o) 二つの対応のある測定値の平均の差と与えられた値の比較(差の分散既知) 

手順は,書式Kによる。 

p) 二つの対応のある測定値の平均の差と与えられた値の比較(差の分散未知) 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

手順は,書式Kʼによる。 

q) 二つの対応のある測定値の平均の差の信頼区間(差の分散既知) 

手順は,書式Lによる。 

r) 二つの対応のある測定値の平均の差の信頼区間(差の分散未知) 

手順は,書式Lʼによる。 

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Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式A 与えられた値と平均の比較(分散既知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ≧μ0 □ 
B) 片側検定H0 : μ≦μ0 □ 
C) 両側検定H0 : μ=μ0 □ 
与えられた値:μ0= 
既知の分散の値:σ2= 
既知の標準偏差の値:σ= 

 
有意水準:α= 

測定値の個数:n= 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 u1−α= 
C)の場合 

u1−α/2= 

計算 

x= 

D=x−μ0= 
A),B)の場合 A=u1−ασ/n 

C)の場合 

B=u1−α/2σ/n 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

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Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Aの使用例 

確率変数と観測方法: 

糸の切断荷重 

アイテム:糸1の試験片(7.1参照) 
 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ≧μ0 □ 
B) 片側検定H0 : μ≦μ0 □ 
C) 両側検定H0 : μ=μ0 □

× 

与えられた値:μ0=19.4N 
既知の分散の値:σ2= 
既知の標準偏差の値:σ=0.85N 

 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n=10 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 u1−α= 
C)の場合 

u1−α/2=1.960 

計算 

x=18.79N 

D=x−μ0=−0.61 N 
A),B)の場合 A=u1−aσ/n 

C)の場合 

B=u1−a/2σ/n=0.526 8N 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

× 

□ 

糸1の切断荷重の期待値は,与えられた値μ0=19.4Nと有意水準5%で有意な差が検出された。 

 
 

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Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Aʼ 与えられた値と平均の比較(分散未知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ≧μ0 □ 
B) 片側検定H0 : μ≦μ0 □ 
C) 両側検定H0 : μ=μ0 □ 
与えられた値:μ0= 
有意水準:α= 

測定値の個数:n= 
自由度:ν=n−1= 

 
統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 t1−α(ν)= 

C)の場合 

t1−α/2(ν)= 

計算 

x= 

s2= 
s= 

D=x−μ0= 
A),B)の場合 A=t1−a(ν)s/n 

C)の場合 

B=t1−a/2(ν)s/n 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

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10 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Aʼの使用例 

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸1の試験片(7.1参照) 
 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ≧μ0 □ 
B) 片側検定H0 : μ≦μ0 □ 
C) 両側検定H0 : μ=μ0 □

× 

与えられた値:μ0=19.4N 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n=10 
自由度:ν=n−1=9 

 
統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 t1−α(ν)= 

C)の場合 

t1−α/2(ν)=2.262 

計算 

x=18.79N 

s2=0.9343N2 
s=0.9666N 

D=x−μ0= 
A),B)の場合 A=t1−α(ν)s/n 

C)の場合 

B=t1−α/2(ν)s/n=0.691 4N 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

糸1の切断荷重の期待値は,与えられた値μ0=19.4Nと有意水準5%で有意な差が検出されなかった。 

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11 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式B 平均の信頼限界(分散既知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 

μの信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
 
既知の分散の値:σ2= 
既知の標準偏差の値:σ= 

 
信頼係数:1−α= 

測定値の個数:n= 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 u1−α= 
C)の場合 

u1−α/2= 

計算 

x= 

A)の場合 

u1−ασ/n= 

A=x+u1−ασ/n= 

B)の場合 

u1−ασ/n= 

B=x−u1−ασ/n= 

C)の場合 

u1−α/2−σ/n= 

C=x−u1−α/2σ/n= 

D=x+u1−α/2σ/n= 

信頼限界の報告 
A)の場合 μ≦A, 
B)の場合 μ≧B, 
C)の場合 C≦μ≦D 

結果 
A)の場合 μ≦ 
B)の場合 μ≧ 
C)の場合 ≦μ≦ 

background image

12 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Bの使用例 

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸1の試験片(7.1参照) 
 

μの信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

 
既知の分散の値:σ2= 
既知の標準偏差の値:σ=0.85N 

 
信頼係数:1−α=0.95 

測定値の個数:n=10 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合  

u1−α/2=1.96 

計算 

x=18.79N 

A)の場合 

u1−ασ/n= 

A=x+u1−ασ/n= 

B)の場合 

u1−ασ/n= 

B=x−u1−ασ/n= 

C)の場合 

u1−α/2σ/n=0.526 8N 

C=x−u1−α/2σ/n=18.263N 

D=x+u1−α/2σ/n=19.317N 

信頼限界の報告 
A)の場合 μ≦A, 
B)の場合 μ≧B, 
C)の場合 C≦μ≦D 

結果 
A)の場合 μ≦ 
B)の場合 μ≧ 
C)の場合 18.26N≦μ≦19.32N 
試験片の切断荷重の平均値は,信頼係数1−α=95%で,18.26Nと19.32Nとの間になる。 

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13 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Bʼ 平均の信頼限界(分散未知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 

μの信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
信頼係数:1−α= 

測定値の個数:n= 
自由度:ν=n−1= 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) = 

計算 

x= 

s2= 
s= 

A)の場合 

t1−α (ν) s/n= 

A=x+t1−α (ν) s/n= 

B)の場合 

t1−α (ν) s/n= 

B=x−t1−α (ν) s/n= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) s/n= 

C=xt1−α/2 (ν) s/n= 

D=x+t1−α/2 (ν) s/n= 

信頼限界の報告 
A)の場合 μ≦A, 
B)の場合 μ≧B, 
C)の場合 C≦μ≦D 

結果 
A)の場合 μ≦ 
B)の場合 μ≧ 
C)の場合 ≦μ≦ 

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14 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Bʼの使用例 

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸1の試験片(7.1参照) 
注: 

μの信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

信頼係数:1−α=0.95 

測定値の個数:n=10 
自由度:ν=n−1=9 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−a/2 (ν) =t0.975 (9) =2.262 

計算 

x=18.79 N 

s2=0.934 3N2 
s=0.966 6 N 

A)の場合 

t1−α (ν) s/n= 

A=x+t1−α (ν) s/n= 

B)の場合 

t1−α (ν) s/n= 

B=x−t1−α (ν) s/n= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) s/n=0.6914N 

C=x−t1−α/2 (ν) s/n=18.099N 

D=x+t1−α/2 (ν) s/n=19.481N 

信頼限界の報告 
A)の場合 μ≦A, 
B)の場合 μ≧B, 
C)の場合 C≦μ≦D 

結果 
A)の場合 μ≦ 
B)の場合 μ≧ 
C)の場合 18.10N≦μ≦19.48N 
試験片の切断荷重の平均値は,信頼係数1−α=95%で,18.10Nと19.48Nとの間になる。 

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15 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式C 二つの対応のない測定の平均の比較(分散既知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1≧μ2 □ 
B) 片側検定H0 : μ1≦μ2 □ 
C) 両側検定H0 : μ1=μ2 □ 

 
既知の分散の値:σ12= 

σ22= 

 
有意水準:α= 

測定値の個数:n1= 

n2= 

統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2= 

計算 

1x= 

2x= 

D=1x−2x= 

σD=

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ+

= 

A),B)の場合 

A=u1−ασD 

C)の場合 

B=u1−α/2σD 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

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16 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Cの使用例 

確率変数と観測方法: 
第1確率変数,第2確率変数ともに糸の切断荷重 
 
アイテム:1. 糸1の試験片,2. 糸2の試験片(7.1参照) 
 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1≧μ2 □ 
B) 片側検定H0 : μ1≦μ2 □ 
C) 両側検定H0 : μ1=μ2 □

× 

 
既知の分散の値:σ12=0.722 5N2 

σ22=1.000 0N2 

 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2=1.960 

計算 

1x=18.79 N 

2x=18.04 N 

D=1x−2x=0.75 N 

σD=

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ+

=0.3944 N 

A),B)の場合 

A=u1−ασD 

C)の場合 

B=u1−α/2σD=0.773 1N 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

二つの糸の切断荷重の平均の間には有意水準5%で有意な差が見出されなかった。 

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17 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Cʼ 二つの対応のない測定の平均の比較(分散未知。ただし,等しいと仮定してよい場合) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1≧μ2 □ 
B) 片側検定H0 : μ1≦μ2 □ 
C) 両側検定H0 : μ1=μ2 □ 

 
有意水準:α= 

測定値の個数:n1= 

n2= 

自由度:ν=n1+n2−2= 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) = 

計算 

1x= 

2x= 

s12= 
s22= 

D=1x−2x= 
Q= (n1−1) s12+ (n2−1) s22 

sD=

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n+

= 

A),B)の場合 

A=t1−α (ν) sD 

C)の場合 

B=t1−α/2 (ν) sD 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

background image

18 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Cʼの使用例 

確率変数と観測方法: 
第1確率変数,第2確率変数ともに糸の切断荷重 
 
アイテム:1. 糸1の試験片,2. 糸2の試験片(7.1参照) 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1≧μ2 □ 
B) 片側検定H0 : μ1≦μ2 □ 
C) 両側検定H0 : μ1=μ2 □

× 

 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

自由度:ν=n1+n2−2=20 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) =t0.975 (20) =2.086 

計算 

1x=18.79 N 

2x=18.04 N 

s12=0.934 3N2 
s22=1.282 7N2 

D=1x−2x=0.75 N 
Q= (n1−1) s12+ (n2−1) s22=22.518N2 

sD=

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n+

=0.454 3N 

A),B)の場合 

A=t1−α (ν) sD 

C)の場合 

B=t1−α/2 (ν) sD=0.947 7N 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

二つの糸の切断荷重の平均の間には有意水準5%では有意な差が見出されなかった。 

background image

19 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式C” 二つの対応のない測定の平均の比較(分散未知。ただし,等しくない場合) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1≧μ2 □ 
B) 片側検定H0 : μ1≦μ2 □ 
C) 両側検定H0 : μ1=μ2 □ 

 
有意水準:α= 

測定値の個数:n1= 

n2= 

計算 

1x= 

2x= 

s12= 
s22= 

D=1x−2x= 

sD=

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

= 

C=

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

= 

自由度:ν=

1

)

1(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

= 

νを切り上げた整数値: 

A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

A=t1−α (ν ) sD= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) = 

B=t1−α/2 (ν) sD= 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 

検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

background image

20 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式C”の使用例 

確率変数と観測方法: 
第1確率変数,第2確率変数ともに糸の切断荷重 
 
アイテム:1. 糸1の試験片,2. 糸2の試験片(7.1参照) 
 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1≧μ2 □ 
B) 片側検定H0 : μ1≦μ2 □ 
C) 両側検定H0 : μ1=μ2 □

× 

 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

計算 

1x=18.79N 

2x=18.04N 

s12=0.934 3N2 
s22=1.282 7N2 

D=1x−2x=0.75N 

sD=

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

=0.447 6 

C=

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

=0.466 4 

自由度:ν=

1

)

1(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

=19.98 

νを切り上げた整数値:20 

A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

A=t1−α (ν) sD= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) =t0.975 (20) =2.086 

B=t1−α/2 (ν) sD=0.933 7 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

二つの糸の切断荷重の平均の間には有意水準5%で有意な差が見出されなかった。 
 

background image

21 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式D 二つの対応のない測定の平均の差の信頼区間(分散既知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
△=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
 
既知の分散の値:σ12= 

σ22= 

 
有意水準:1−α= 

測定値の個数:n1= 

n2= 

統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2= 

計算 

1x= 

2x= 

σD=

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ+

= 

A)の場合 

u1−ασD= 

A=1x−2x+u1−ασD= 

B)の場合 

u1−ασD= 

B=1x−2x−u1−ασD= 

C)の場合 

u1−α/2σD= 

C=1x−2x−u1−α/2σD= 

D=1x−2x+u1−α/2σD= 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 ∆≦ 
B)の場合 ∆≧ 
C)の場合 ≦∆≦ 

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22 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Dの使用例 

確率変数と観測方法: 
第1確率変数,第2確率変数ともに糸の切断荷重 
 
アイテム:1. 糸1の試験片,2. 糸2の試験片(7.1参照) 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

既知の分散の値:σ12=0.722 5N2 

σ22=1.000 0N2 

有意水準:1−α=0.95 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2=u0.975=1.960 

計算 

1x=18.79N 

2x=18.04N 

σD=

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ+

=0.394 4N 

A)の場合 

u1−ασD= 

A=1x−2x−u1−ασD= 

B)の場合 

μ1−ασD= 

B=1x−2x−u1−ασD= 

C)の場合 

u1−α/2σD=0.773 1 N 

C=1x−2x−u1−α/2σD=−0.023 1N 

D=1x−2x+u1−α/2σD=1.523 1N 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 ∆≦ 
B)の場合 ∆≧ 
C)の場合 −0.02N≦∆≦1.52N 
糸1と糸2との切断荷重の平均の差は,信頼係数1−α=0.95で,−0.02Nと1.52Nとの間になる。 

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23 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Dʼ 二つの対応のない測定の平均の差の信頼区間(分散未知。ただし,等しいと仮定してよい場合) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
 
信頼係数:1−α= 

測定値の個数:n1= 

n2= 

自由度:ν=n1+n2−2= 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) = 

計算 

1x= 

2x= 

s12= 
s22= 

Q= (n1−1) s12+ (n2−1) s22 

sd=

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n+

= 

A)の場合 

t1−α (ν) sd= 

A=1x−2x+t1−α (ν) sd= 

B)の場合 

t1−α (ν) sd= 

B=1x−2x−t1−α (ν) sd= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) sd= 

C=1x−2x−t1−α/2 (ν) sd= 

D=1x−2x+t1−α/2 (ν) sd= 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 ∆≦ 
B)の場合 ∆≧ 
C)の場合 ≦∆≦ 

background image

24 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Dʼの使用例 

確率変数と観測方法: 
第1確率変数,第2確率変数ともに糸の切断荷重 
 
アイテム:1. 糸1の試験片,2. 糸2の試験片(7.1参照) 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

 
信頼係数:1−α=0.95 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

自由度:ν=n1+n2−2=20 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) =t0.975 (20) =2.086 

計算 

1x=18.79N 

2x=18.04N 

s12=0.934 3N2 
s22=1.282 7N2 

Q= (n1−1) s12+ (n2−1) s22=22.518N2 

sd=

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n+

=0.454 3N 

A)の場合 

t1−α (ν) sd= 

A=1x−2x+t1−α (ν) sd= 

B)の場合 

t1−α (ν) sd 

B=1x−2x−t1−α (ν) sd= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) sd=0.947 7N 

C=1x−2x−t1−α/2 (ν) sd=−0.197 7N 

D=1x−2x+t1−α/2 (ν) sd=1.697 7N 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 ∆≦ 
B)の場合 ∆≧ 
C)の場合 −0.20N≦∆≦1.70N 
糸1と糸2との切断荷重の平均の差は,信頼係数1−α=0.95で,−0.20Nと1.70Nとの間になる。 

background image

25 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式D” 二つの対応のない測定の平均の差の信頼区間(分散未知。ただし,等しくない場合) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
有意水準:1−α= 

測定値の個数:n1= 

n2= 

計算 

1x= 

2x= 

s12= 
s22= 

sd=

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

= 

C=

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

= 

自由度:ν=

1

)

1(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

= 

vを切り上げた整数値: 

A)の場合 

t1−α (ν) = 

t1−α (ν) sd= 

A=1x−2x+t1−α (ν) sd= 

B)の場合 

t1−α (ν) = 

t1−α (ν) sd= 

B=1x−2x−t1−α (ν) sd= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) = 

t1−α/2 (ν) sd= 

C=1x−2x−t1−α/2 (ν) sd= 

D=1x−2x+t1−α/2 (ν) sd= 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 ∆≦ 
B)の場合 ∆≧ 
C)の場合 ≦∆≦ 

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26 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式D”の使用例 

確率変数と観測方法: 
第1確率変数,第2確率変数ともに糸の切断荷重 
アイテム:1. 糸1の試験片,2. 糸2の試験片(7.1参照) 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

有意水準:1−α=0.95 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

計算 

1x=18.79N 

2x=18.04N 

s12=0.934 3N2 
s22=1.282 7N2 

sd=

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

=0.447 6 

C=

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

=0.466 4 

自由度:ν=

1

)

1(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

=19.98 

νを切り上げた整数値:20 

A)の場合 

t1−α (ν) = 

t1−α (ν) sd= 

A=1x−2x+t1−α (ν) sd= 

B)の場合 

t1−α (ν) = 

t1−α (ν) sd= 

B=1x−2x−t1−α (ν) sd= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) =t0.975 (20) =2.086 

t1−α/2 (ν) sd=0.933 7 

C=1x−2x−t1−α/2 (ν) sd=−0.183 7 

D=1x−2x+t1−α/2 (ν) sd=1.683 7 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 ∆≦ 
B)の場合 ∆≧ 
C)の場合 −0.18N≦∆≦1.68N 
糸1と糸2との切断荷重の平均の差は,信頼係数1−α=0.95で,−0.18Nと1.68Nとの間になる。 

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27 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式E 分散又は標準偏差と与えられた値との比較 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : σ2≧σ02 □ 
B) 片側検定H0 : σ2≦σ02 □ 
C) 両側検定H0 : σ2=σ02 □ 
与えられた値:σ02= 
有意水準:α: 

測定値の個数:n= 
自由度:ν=n−1= 

統計数値表の値(附属書A表3参照) 
A)の場合 

X2α (ν) = 

B)の場合 

X21−α (ν) = 

C)の場合 

X21−α/2 (ν) = 

X21−α/2 (ν) = 

計算 

s2= 

A=

2

0

2

)1

(

σ

s

n−

検定の解釈 
A)の場合 A<X2α (ν), 
B)の場合 A>X21−α (ν), 
C)の場合 A<X2α/2 (ν) 又はA>X21−α/2 (ν) のとき帰無仮説H0を棄却する。 

検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

background image

28 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Eの使用例 

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸1の試験片(7.1参照) 
 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : σ2≧σ02 □ 
B) 片側検定H0 : σ2≦σ02 □

× 

C) 両側検定H0 : σ2=σ02 □ 
与えられた値:σ02=0.600N2 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n=10 
自由度:ν=n−1=9 

統計数値表の値(附属書A表3参照) 
A)の場合 

X2α (ν) = 

B)の場合 

X21−α (ν) =X20.95 (9) =16.92 

C)の場合 

X21−α/2 (ν) = 

X21−α/2 (ν) = 

計算 

s2=0.934 3N2 

A=

2

0

2

)1

(

σ

s

n−

=14.015 

検定の解釈 
A)の場合 A<X2α (ν), 
B)の場合 A>X21−α (ν), 
C)の場合 A<X2α/2 (ν) 又はA>X21−α/2 (ν) のとき帰無仮説H0を棄却する。 

検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

糸1の切断荷重の分散は,与えられた値σ02=0.600 0N2と有意水準5%で有意な差が検出されなかった。 

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29 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式F 分散又は標準偏差の信頼区間 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 

σ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
信頼係数:1−α= 

測定値の個数:n= 
自由度:ν=n−1= 

統計数値表の値(附属書A表3参照) 
A)の場合 

X2α (ν) = 

B)の場合 

X21−α (ν) = 

C)の場合 

X2α/2 (ν) = 

X21−α/2 (ν) = 

計算 

s2= 

A)の場合 

A=

)

(

)1

(

2

2

ν

χα

s

n−

B)の場合 

B=

)

(

)1

(

1

2

2

ν

χ

α

−s

n

C)の場合 

C=

)

(

)1

(

2

/

1

2

2

ν

χ

α

−s

n

D=

)

(

)1

(

2

/

2

2

ν

χα

s

n−

信頼限界の報告 
A)の場合 σ2≦A, 
B)の場合 σ2≧B, 
C)の場合 C≦σ2≦D 

結果 
A)の場合 □ σ2≦ 
B)の場合 □ σ2≧ 
C)の場合 □ ≦σ2≦ 

σの信頼限界はσ2の信頼限界の正の平方根となる。 

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30 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Fの使用例 

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸1の試験片(7.1参照) 

σ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

信頼係数:1−α=0.95 

測定値の個数:n=10 
自由度:ν=n−1=9 

統計数値表の値(附属書A表3参照) 
A)の場合 

X2α (ν) = 

B)の場合 

X21−α (ν) = 

C)の場合 

X2α/2 (ν) =X20.025 (9) =2.70 

X21−α/2 (ν) =X20.975 (9) =19.02 

計算 

s2=0.934 3N2 

A)の場合 

A=

)

(

)1

(

2

2

ν

χα

s

n−

B)の場合 

B=

)

(

)1

(

1

2

2

ν

χ

α

−s

n

C)の場合 

C=

)

(

)1

(

2

/

1

2

2

ν

χ

α

−s

n

=0.442 1N2 

D=

)

(

)1

(

2

/

2

2

ν

χα

s

n−

=3.114 3N2 

信頼限界の報告 
A)の場合 σ2≦A, 
B)の場合 σ2≧B, 
C)の場合 C≦σ2≦D 

結果 
A)の場合 σ2≦ 
B)の場合 σ2≧ 
C)の場合 0.442N2≦σ2≦3.114N2 
糸1の切断荷重の分散は,信頼係数1−α=95%で,0.442N2と3.114N2の間にある。 

σの信頼限界はσ2の信頼限界の正の平方根となり,ここでは0.66Nと1.75Nとなる。 

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31 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式G 二つの分散又は標準偏差の比較 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : σ12≧σ22 □ 
B) 片側検定H0 : σ12≦σ22 □ 
C) 両側検定H0 : σ12=σ22 □ 
有意水準:α= 

測定値の個数:n1=  

n2= 

自由度: 

ν1=n1−1= 

ν2=n2−1= 

統計数値表の値(附属書A表4参照) 
A)の場合 

F1−α (ν2, ν1) = 

B)の場合 

F1−α (ν1, ν2) = 

C)の場合 

F1−α/2 (ν1, ν2) = 

F1−α/2 (ν2, ν1) = 

計算 

s12= 

s22= 

A=

2

2

2

1

s

A)の場合 Fα (ν1, ν2) =1/F1−α (ν2, ν1) = 
C)の場合 Fα/2 (ν1, ν2) =1/F1−α/2 (ν2, ν1) = 

検定の解釈 
A)の場合 A<Fα (ν1, ν2) 
B)の場合 A>F1−α (ν1, ν2) 
C)の場合 A<Fα/2 (ν1, ν2) 又はA>F1−α/2 (ν2, ν1) 

のとき帰無仮説H0を棄却する。 

検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

background image

32 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Gの使用例 

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム: 糸1の試験片 
 

糸2の試験片(7.1参照) 

帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : σ12≧σ22 □ 
B) 片側検定H0 : σ12≦σ22 □ 
C) 両側検定H0 : σ12=σ22 □

× 

有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

自由度: ν1=n1−1=9 

ν2=n2−1=11 

統計数値表の値(附属書A表4参照) 
A)の場合 

F1−α (ν2, ν1) = 

B)の場合 

F1−α (ν1, ν2) = 

C)の場合 

F1−α/2 (ν1, ν2) =F0.975 (9, 11) =3.59 

F1−α/2 (ν2, ν1) =F0.975 (11, 9) =3.91 

計算 

s12=0.934 3N2 

s22=1.282 7N2 

A=

2

2

2

1

s

s=0.728 4 

A)の場合 Fα (ν1, ν2) =1/F1−α (ν2, ν1) = 
C)の場合 Fα/2 (ν1, ν2) =1/F1−α/2 (ν2, ν1) =0.256 

検定の解釈 
A)の場合 A<Fα (ν1, ν2) 
B)の場合 A>F1−α (ν1, ν2) 
C)の場合 A<Fα/2 (ν1, ν2) 又はA>F1−α/2 (ν2, ν1) 

のとき帰無仮説H0を棄却する。 

検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

糸1と糸2の切断荷重の分散は,有意水準5%で有意な差が検出されなかった。 
 

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33 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式H 二つの分散又は標準偏差の比の信頼区間 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 

σ12/σ22の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
信頼係数:1−α= 

測定値の個数:n1=  

n2= 

自由度: ν1=n1−1= 

ν2=n2−1= 

統計数値表の値(附属書A表4参照) 
A)の場合 

F1−α (ν2, ν1) = 

B)の場合 

F1−α (ν1, ν2) = 

C)の場合 

F1−α/2 (ν1, ν2) = 

F1−α/2 (ν2, ν1) = 

計算 

s12= 

s22= 

2

2

2

1

s

s= 

A)の場合 

A=

2

2

2

1

s

sF1−α (ν2, ν1) = 

B)の場合 

B=

2

2

2

1

s

s/F1−α (ν2, ν1) = 

C)の場合 

C=

2

2

2

1

s

s/F1−α/2 (ν1, ν2) = 

D=

2

2

2

1

s

sF1−α/2 (ν1, ν2) = 

信頼限界の報告 
A)の場合 σ12/σ22≦A 
B)の場合 σ12/σ22≧B 
C)の場合 C≦σ12/σ22≦D 

結果 
A)の場合□ σ12/σ22≦ 
B)の場合□ σ12/σ22≧ 
C)の場合□ ≦σ12/σ22≦ 

σ1/σ2の信頼限界はσ12/σ22の信頼限界の正の平方根となる。 

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34 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Hの使用例 

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム: 糸1の試験片 
 

糸2の試験片(7.1参照) 

σ12/σ22の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

信頼係数:1−α=0.95 

測定値の個数:n1=10 

n2=12 

自由度: 

ν1=n1−1=9 

ν2=n2−1=11 

統計数値表の値(附属書A表4参照) 
A)の場合 

F1−α (ν2, ν1) = 

B)の場合 

F1−α (ν1, ν2) = 

C)の場合 

F1−α/2 (ν2, ν1) =F0.975 (9, 11) =3.59 

F1−α/2 (ν2, ν1) =F0.975 (11, 9) =3.91 

計算 

s12=0.934 3N2 

s22=1.282 7N2 

2

2

2

1

s

s=0.728 4 

A)の場合 

A=

2

2

2

1

s

sF1−α (ν2, ν1) = 

B)の場合 

B=

2

2

2

1

s

s/F1−α (ν2, ν1) = 

C)の場合 

C=

2

2

2

1

s

s/F1−α/2 (ν2, ν1) =0.202 9 

D=

2

2

2

1

s

sF1−α/2 (ν2, ν1) =2.848 

信頼限界の報告 
A)の場合 σ12/σ22≦A 
B)の場合 σ12/σ22≧B 
C)の場合 C≦σ12/σ22≦D 

結果 
A)の場合 □ σ12/σ22≦ 
B)の場合 □ σ12/σ22≧ 

C)の場合 □

× 0.203≦σ12/σ22≦2.848 

糸1と糸2の切断荷重の分散比は,信頼係数1−α=95%で0.203と2.848の間にある。 

σ1/σ2の信頼限界はσ12/σ22の信頼限界の正の平方根となり,ここでは0.45と1.69となる。 

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35 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式K 二つの対応のある測定の平均の比較 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値に関する検定,差の分散既知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1−μ2≧∆0 □ 
B) 片側検定H0 : μ1−μ2≦∆0 □ 
C) 両側検定H0 : μ1−μ2=∆0 □ 
与えられた値:∆0= 

既知の値 
 差の分散:σD2= 
 差の標準偏差:σD= 
有意水準:α= 

測定値の個数:n= 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2= 

計算 
差diの平均d 

d= 

D=d−∆0= 

A),B)の場合 

A=u1−ασD/n= 

C)の場合 

B=u1−α/2σD/n= 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

background image

36 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Kの使用例 

確率変数と観測方法: 
アイテム: 

n=9の種々の糸素材について,分析方法1で水分含有率を測定。 

1と同一試料を分析方法2で水分含有率を測定。 

注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1−μ2≧∆0 □ 
B) 片側検定H0 : μ1−μ2≦∆0 □ 
C) 両側検定H0 : μ1−μ2=∆0 □

× 

与えられた値:∆0=0% 

既知の値 
 差の分散:σD2= 
 差の標準偏差:σD=1.00% 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n=9 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2=u0.975=1.960 

計算 
差diの平均d 

d=0.211% 

D=d−∆0=0.211% 

A),B)の場合 

A=u1−ασD/n= 

C)の場合 

B=u1−α/2σD/n=0.653% 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

分析方法1と2とでは,水分含有率の期待値が,有意水準5%で有意な差が検出されなかった。 
(分析方法1と2との水分含有率の差の期待値と,与えられた値∆0=0%とは,有意水準5%で有意な差が検出されな

かった。) 

background image

37 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Kʼ 二つの対応のある測定の平均の比較 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値に関する検定,差の分散未知) 

確率変数と観測方法: 
 
アイテム: 
注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1−μ2≧∆0 □ 
B) 片側検定H0 : μ1−μ2≦∆0 □ 
C) 両側検定H0 : μ1−μ2=∆0 □ 
与えられた値:∆0= 
有意水準:α= 

測定値の個数:n= 
自由度:ν=n−1= 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

tν, 1−α/2 (ν) = 

計算 
差diの平均d 

d= 

D=d−∆0= 

差diの標準偏差: 

sd= 

A),B)の場合 

A=t1−α (ν) sd/n= 

C)の場合 

B=t1−α/2 (ν) sd/n= 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

□ 

background image

38 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Kʼの使用例 

確率変数と観測方法:糸の水分含有率 (%) 
アイテム: 

n=9の種々の糸素材について,分析方法1で水分含有率を測定。 

1と同一試料を分析方法2で水分含有率を測定。 

注: 
帰無仮説と検定のタイプ 
A) 片側検定H0 : μ1−μ2≧∆0 □ 
B) 片側検定H0 : μ1−μ2≦∆0 □ 
C) 両側検定H0 : μ1−μ2=∆0 □

× 

与えられた値:∆0=0% 
有意水準:α=0.05 

測定値の個数:n=9 
自由度:ν=n−1=8 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

tν, 1−α/2 (ν) =t0.975 (8) =2.306 

計算 
差diの平均d 

d=0.211% 

D=d−∆0=0.211% 

差diの標準偏差: 

sd=1.125 % 

A),B)の場合 

A=tν, 1−αsd/n= 

C)の場合 

B=tν, 1−α/2 sD/n=0.865 % 

検定の解釈 
A)の場合 D<−A, 
B)の場合 D>A, 
C)の場合 |D|>Bのとき帰無仮説H0を棄却する。 
検定結果 
H0は棄却される。 

H0は棄却されない。 

□ 

× 

分析方法1と2とでは,水分含有率の期待値が,有意水準5%で有意な差が検出されなかった。 
(分析方法1と2との水分含有率の差の期待値と,与えられた値∆0=0%とは,有意水準5%で有意な差が検出されな

かった。) 

background image

39 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式L 二つの対応のある測定の平均の差の信頼限界 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値の信頼区間,分散既知) 

確率変数と観測方法: 
アイテム: 
注: 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
既知の値 
 差の分散:σD2= 
 差の標準偏差:σD= 
信頼係数:1−α= 

測定値の個数:n= 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2= 

計算 
差diの平均d 

d= 

A)の場合 

u1−ασD/n= 

A=d+u1−ασD/n= 

B)の場合 

u1−ασD/n= 

B=du1−ασD/n= 

C)の場合 

u1−α/2σD/n= 

C=d−u1−α/2σD/n= 

D=d+u1−α/2σD/n= 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 ∆≦ 
B)の場合 ∆≧ 
C)の場合 ≦∆≦ 

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40 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Lの使用例 

確率変数と観測方法:糸の水分含有率 (%) 
アイテム: 

n=9の種々の糸素材について,分析方法1で水分含有率を測定。 

1と同一試料を分析方法2で水分含有率を測定。 

注: 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

既知の値 
 差の分散:σD2= 
 差の標準偏差:σD=1.00% 
信頼係数:1−α=0.95 

測定値の個数:n=9 
統計数値表の値(附属書A表1参照) 
A),B)の場合 

u1−α= 

C)の場合 

u1−α/2=u0.975=1.960 

計算 
差diの平均d 

d=0.211% 

A)の場合 

u1−ασD/n= 

A=d+u1−ασD/n= 

B)の場合 

u1−ασD/n= 

B=d+u1−ασD/n= 

C)の場合 

u1−α/2σD/n=0.653 % 

C=d−u1−α/2σD/n=−0.442% 

D=d+u1−α/2σD/n=0.864% 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 □ ∆≦ 
B)の場合 □ ∆≧ 

C)の場合 □

× −0.44%≦∆≦0.86% 

両分析方法の水分含有率の差の期待値∆は,信頼係数1−α=0.95で−0.44%と0.86%の間にある。 

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41 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Lʼ 二つの対応のある測定の平均の差の信頼限界 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値の信頼区間,分散未知) 

確率変数と観測方法: 
アイテム: 
注: 
∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □ 
信頼係数:1−α= 

測定値の個数:n= 
自由度:ν=n−1= 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) = 

計算 
差diの平均d 

d= 

A)の場合 

t1−α (ν) sd/n= 

A=d+t1−α (ν) sd/n= 

B)の場合 

t1−α (ν) Sd/n= 

B=d−t1−α (ν) sd/n= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) sd/n= 

C=d−t1−α/2 (ν) sd/n= 

D=d+t1−α/2 (ν) sd/n= 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 □ ∆≦ 
B)の場合 □ ∆≧ 
C)の場合 □ ≦∆≦ 

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42 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

書式Lʼの使用例 

確率変数と観測方法:糸の水分含有率 (%) 
アイテム: 

n=9の種々の糸素材について,分析方法1で水分含有率を測定。 

1と同一試料を分析方法2で水分含有率を測定。 

∆=μ1−μ2の信頼区間のタイプ 

A) 片側信頼上限 □ 
B) 片側信頼下限 □ 
C) 両側信頼限界 □

× 

信頼係数:1−α=0.95 

測定値の個数:n=9 
自由度:ν=n−1=8 

統計数値表の値(附属書A表2参照) 
A),B)の場合 

t1−α (ν) = 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) =t0.975 (8) =2.306 

計算 
差diの平均d 

d=0.211 % 

A)の場合 

t1−α (ν) sd/n= 

A=d+t1−α (ν) sd/n= 

B)の場合 

t1−α (ν) sd/n= 

B=d−t1−α (ν) sd/n= 

C)の場合 

t1−α/2 (ν) sd/n=0.865 % 

C=d−t1−α/2 (ν) sd/n=−0.654% 

D=d+t1−α/2 (ν) sd/n=1.076% 

信頼限界の報告 
A)の場合 ∆≦A, 
B)の場合 ∆≧B, 
C)の場合 C≦∆≦D 

結果 
A)の場合 □ ∆≦ 
B)の場合 □ ∆≧ 

C)の場合 □

× −0.65%≦∆≦1.08% 

両分析方法の水分含有率の差の期待値∆は,信頼係数1−α=0.95で−0.65%と1.08%の間にある。 

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43 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

附属書A(規定) 統計数値表 

附属書A表1 標準化正規分布の分位点u1−α及びu1−α/2の表 

両側の場合 

片側の場合 

α=0.05 

α=0.01 

α=0.05 

α=0.01 

u1−α/2=u0.975 

u1−α/2=u0.995 

u1−α=u0.95 

u1−α=u0.99 

1.960 

2.576 

1.645 

2.326 

備考 標準化正規変量の分位点uαは,P (U≦uα) =αを満たす点である。Uの分布が

原点0を中心に対称であるため,uα=−u1−αが成り立つ。したがって,P (U
>uα) =1−α,P (uα/2<U<u1−α/2) =1−αが成り立つ。Uの確率密度関数(標

準化正規分布)は,次のようになる(附属書A図1参照)。 

附属書A図1 標準化正規分布Uの確率密度 

background image

44 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

附属書A表2 t分布の分位点t1−α (ν) 及びt1−α/2 (ν) の表 

ν 

両側の場合 

片側の場合 

α=0.05 

α=0.01 

α=0.05 

α=0.01 

t1−α/2 (ν) = 

t1−α/2 (ν) = 

t1−α (ν) = 

t1−α (ν) = 

t0.975 (ν) 

t0.995 (ν) 

t0.95 (ν) 

t0.99 (ν) 

  1 

12.706 

63.657 

6.314 

31.821 

  2 

 4.303 

 9.925 

2.920 

 6.965 

  3 

 3.182 

 5.841 

2.353 

 4.541 

  4 

 2.776 

 4.604 

2.132 

 3.747 

  5 

 2.571 

 4.032 

2.015 

 3.365 

  6 

 2.447 

 3.707 

1.943 

 3.143 

  7 

 2.365 

 3.499 

1.895 

 2.998 

  8 

 2.306 

 3.335 

1.860 

 2.896 

  9 

 2.262 

 3.250 

1.833 

 2.821 

 10 

 2.228 

 3.169 

1.812 

 2.764 

 11 

 2.201 

 3.106 

1.796 

 2.718 

 12 

 2.179 

 3.055 

1.782  

 2.681 

 13 

 2.160 

 3.012 

1.771 

 2.650 

 14 

 2.145 

 2.977 

1.761 

 2.624 

 15 

 2.131 

 2.947 

1.753 

 2.602 

 16 

 2.120 

 2.921 

1.746 

 2.583 

 17 

 2.110 

 2.898 

1.740 

 2.567 

 18 

 2.101 

 2.878 

1.734 

 2.552 

 19 

 2.093 

 2.861 

1.729 

 2.539 

 20 

 2.086 

 2.845 

1.725 

 2.528 

 21 

 2.080 

 2.831 

1.721 

 2.518 

 22 

 2.074 

 2.819 

1.717 

 2.508 

 23 

 2.069 

 2.807 

1.714 

 2.500 

 24 

 2.064 

 2.797 

1.711 

 2.492 

 25 

 2.060 

 2.787 

1.708 

 2.485 

 26 

 2.056 

 2.779 

1.706 

 2.479 

 27 

 2.052 

 2.771 

1.703 

 2.473 

 28 

 2.048 

 2.763 

1.701 

 2.467 

 29 

 2.045 

 2.756 

1.699 

 2.462 

 30 

 2.042 

 2.750 

1.697 

 2.457 

 40 

 2.021 

 2.704 

1.684 

 2.423 

 60 

 2.000 

 2.660 

1.671 

 2.390 

120 

 1.980 

 2.617 

1.658 

 2.358 

∞ 

 1.960 

 2.576 

1.645 

 2.326 

出典:E. S. Pearson and H. O. Hartley, Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1 (1966). 
備考1. ν>30のときは,引数をz=120/νとして補間を行う。 

例:ν=40 z=120/ν=3 t0.975 (ν) =2.021,ν=60 z=120/ν=2 t0.975 (ν) =2.000,したがって,ν=50 z=
120/ν=2.4のときには, 

t0.975 (ν) =2.021−

2

3

4.2

3

− (2.021−2.000)=2.008となる。 

2. 分位点tα (ν) は,P [t (ν) ≦tα (ν) ]αを満たす点である。ただし,t (ν) は自由度νのt分布に従う確率変数

である。t分布が原点0を中心に対称であるため,tα (ν) =−t1−α (ν) が成り立つ。したがって,P [t (ν) >

tα (ν) ]=1−α,P [tα/2 (ν) <t (ν) <t1−α/2 (ν) ]=1−αが成り立つ。自由度vのt分布に従う確率変数t (ν) の

確率密度関数は,次のようになる(附属書A図2参照)。 

background image

45 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

附属書A図2 自由度v=n1+n2−2のt分布の確率密度 

background image

46 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

附属書A表3 カイ二乗分布の分位点X2α/2 (ν),X21−α/2 (ν),X2α (ν) とX21−α (ν) の表 

ν 

両側の場合 

片側の場合 

X20.025 

X20.975 

X20.005 

X20.995 

X20.05 

X20.95 

X20.01 

X20.99 

 1 

0.001 

5.023 

0.000 039 3 

7.879 

0.004 

3.841 

0.000 2 

6.635 

 2 

0.051 

7.378 

0.010 

10.597 

0.103 

5.991 

0.020 

9.210 

 3 

0.216 

9.348 

0.072 

12.838 

0.352 

7.815 

0.115 

11.345 

 4 

0.484 

11.143 

0.207 

14.860 

0.711 

9.488 

0.297 

13.277 

 5 

0.831 

12.833 

0.412 

16.750 

1.145 

11.071 

0.554 

15.086 

 6 

1.237 

14.449 

0.676 

18.548 

1.635 

12.592 

0.872 

16.812 

 7 

1.690 

16.013 

0.989 

20.278 

2.167 

14.067 

1.239 

18.475 

 8 

2.180 

17.535 

1.344 

21.955 

2.733 

15.507 

1.646 

20.090 

 9 

2.700 

19.023 

1.735 

23.589 

3.325 

16.919 

2.088 

21.666 

10 

3.247 

20.483 

2.156 

25.188 

3.940 

18.307 

2.558 

23.209 

11 

3.816 

21.920 

2.603 

26.757 

4.575 

19.675 

3.053 

24.725 

12 

4.404 

23.337 

3.074 

28.300 

5.226 

21.026 

3.571 

26.217 

13 

5.009 

24.736 

3.565 

29.819 

5.892 

22.362 

4.107 

27.688 

14 

5.629 

26.119 

4.075 

31.319 

6.571 

23.685 

4.660 

29.141 

15 

6.262 

27.488 

4.601 

32.801 

7.261 

24.996 

5.229 

30.578 

16 

6.908 

28.845 

5.142 

34.267 

7.962 

26.296 

5.812 

32.000 

17 

7.564 

30.191 

5.697 

35.719 

8.672 

27.587 

6.408 

33.409 

18 

8.231 

31.526 

6.265 

37.156 

9.390 

28.869 

7.015 

34.805 

19 

8.907 

32.852 

6.844 

38.582 

10.117 

30.144 

7.633 

36.191 

20 

9.591 

34.170 

7.434 

39.997 

10.851 

31.410 

8.260 

37.566 

21 

10.283 

35.479 

8.034 

41.401 

11.591 

32.671 

8.897 

38.932 

22 

10.982 

36.781 

8.643 

42.796 

12.338 

33.924 

9.542 

40.289 

23 

11.689 

38.076 

9.260 

44.181 

13.091 

35.173 

10.196 

41.638 

24 

12.401 

39.364 

9.886 

45.559 

13.848 

36.415 

10.856 

42.980 

25 

13.120 

40.647 

10.520 

46.928 

14.611 

37.653 

11.524 

44.314 

26 

13.844 

41.923 

11.160 

48.290 

15.379 

38.885 

12.198 

45.642 

27 

14.573 

43.194 

11.808 

49.645 

16.151 

40.113 

12.879 

46.963 

28 

15.308 

44.461 

12.461 

50.993 

16.928 

41.337 

13.565 

48.278 

29 

16.047 

45.722 

13.121 

52.336 

17.708 

42.557 

14.257 

49.588 

30 

16.791 

46.979 

13.787 

53.672 

18.493 

43.773 

14.954 

50.892 

出典:E. S. Pearson and H. O. Hartley, Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1 (1966) 
備考 分位点X2α (ν) は,P [X2 (ν) ≦X2α (ν)] =aを満たす点である。ただし,X2 (ν) は自由度νのカイ二乗分布

に従う確率変数である。 

P [X2 (ν) >X2α (ν) ] =1−α,P [X2α/2 (ν) <X2 (ν) <X21−α/2 (ν) ] =1−αが成り立つ。 
自由度νのカイ二乗分布に従う確率変数X2 (ν) の確率密度関数は,次のようになる(附属書A図3参照)。 

background image

47 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

附属書A図3 自由度ν=n−1にカイ二乗分布の確率密度 

附属書A表4 F分布の上側分位点 

F1−α (ν1, ν2), α=0.05 

ν1 

ν2 

10 

12 

15 

20 

24 

30 

40 

60 

120 

  4 

6.39 

6.26 

6.16 

6.09 

6.04 

5.96 

5.91 

5.86 

5.80 

5.77 

5.75 

5.72 

5.69 

5.66 

  5 

5.19 

5.05 

4.95 

4.88 

4.82 

4.74 

4.68 

4.62 

4.56 

4.53 

4.50 

4.46 

4.43 

4.40 

  6 

4.53 

4.39 

4.28 

4.21 

4.15 

4.06 

4.00 

3.94 

3.87 

3.84 

3.81 

3.77 

3.74 

3.70 

  7 

4.12 

3.97 

3.87 

3.79 

3.73 

3.64 

3.57 

3.51 

3.44 

3.41 

3.38 

3.34 

3.30 

3.27 

  8 

3.84 

3.69 

3.58 

3.50 

3.44 

3.35 

3.28 

3.22 

3.15 

3.12 

3.08 

3.04 

3.01 

2.97 

 10 

3.48 

3.33 

3.22 

3.14 

3.07 

2.98 

2.91 

2.85 

2.77 

2.74 

2.70 

2.66 

2.62 

2.58 

 12 

3.26 

3.11 

3.00 

2.91 

2.85 

2.75 

2.69 

2.62 

2.54 

2.51 

2.47 

2.43 

2.38 

2.34 

 15 

3.06 

2.90 

2.79 

2.71 

2.64 

2.54 

2.48 

2.40 

2.33 

2.29 

2.25 

2.20 

2.46 

2.11 

 20 

2.87 

2.71 

2.60 

2.51 

2.45 

2.35 

2.28 

2.20 

2.12 

2.08 

2.04 

1.99 

1.95 

1.90 

 24 

2.78 

2.62 

2.51 

2.42 

2.36 

2.25 

2.18 

2.11 

2.03 

1.98 

1.94 

1.89 

1.84 

1.79 

 30 

2.69 

2.53 

2.42 

2.33 

2.27 

2.16 

2.09 

2.01 

1.93 

1.89 

1.84 

1.79 

1.74 

1.68 

 40 

2.61 

2.45 

2.34 

2.25 

2.18 

2.08 

2.00 

1.92 

1.84 

1.79 

1.74 

1.69 

1.64 

1.58 

 60 

2.53 

2.37 

2.25 

2.17 

2.10 

1.99 

1.92 

1.84 

1.75 

1.70 

1.65 

1.59 

1.53 

1.47 

120 

2.45 

2.29 

2.17 

2.09 

2.02 

1.91 

1.83 

1.75 

1.66 

1.61 

1.55 

1.50 

1.43 

1.35 

F1−α (ν1, ν2), α=0.025 

ν1 

ν2 

10 

12 

15 

20 

24 

30 

40 

60 

120 

  4 

9.60 

9.36 

9.20 

9.07 

8.98 

8.84 

8.75 

8.66 

8.56 

8.51 

8.46 

8.41 

8.36 

8.31 

  5 

7.39 

7.15 

6.98 

6.85 

6.76 

6.62 

6.52 

6.43 

6.33 

6.28 

6.23 

6.18 

6.12 

6.07 

  6 

6.23 

5.99 

5.82 

5.70 

5.60 

5.46 

5.37 

5.27 

5.17 

5.12 

5.07 

5.01 

4.96 

4.90 

  7 

5.52 

5.29 

5.12 

4.99 

4.90 

4.76 

4.67 

4.57 

4.47 

4.42 

4.36 

4.31 

4.25 

4.20 

  8 

5.05 

4.82 

4.65 

4.53 

4.43 

4.30 

4.20 

4.10 

4.00 

3.95 

3.89 

3.84 

3.78 

3.73 

 10 

4.47 

4.24 

4.07 

3.95 

3.85 

3.72 

3.62 

3.52 

3.42 

3.37 

3.31 

3.26 

3.20 

3.14 

 12 

4.12 

3.89 

3.73 

3.61 

3.51 

3.37 

3.28 

3.18 

3.07 

3.02 

2.96 

2.91 

2.85 

2.79 

 15 

3.80 

3.58 

3.41 

3.29 

3.20 

3.06 

2.96 

2.86 

2.76 

2.70 

2.64 

2.59 

2.52 

2.46 

 20 

3.51 

3.29 

3.13 

3.01 

2.91 

2.77 

2.68 

2.57 

2.46 

2.41 

2.35 

2.29 

2.22 

2.16 

 24 

3.38 

3.15 

2.99 

2.87 

2.78 

2.64 

2.54 

2.44 

2.33 

2.27 

2.21 

2.15 

2.08 

2.01 

 30 

3.25 

3.03 

2.87 

2.75 

2.65 

2.51 

2.41 

2.31 

2.20 

2.14 

2.07 

2.01 

1.94 

1.87 

 40 

3.13 

2.90 

2.74 

2.62 

2.53 

2.39 

2.29 

2.18 

2.07 

2.01 

1.94 

1.88 

1.80 

1.72 

 60 

3.01 

2.79 

2.63 

2.51 

2.41 

2.27 

2.17 

2.06 

1.94 

1.88 

1.82 

1.74 

1.67 

1.58 

120 

2.89 

2.67 

2.52 

2.39 

2.30 

2.16 

2.05 

1.94 

1.82 

1.76 

1.69 

1.61 

1.53 

1.43 

background image

48 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

F1−α (ν1, ν2), α=0.01 

ν1 

ν2 

10 

12 

15 

20 

24 

30 

40 

60 

120 

  4 

15.98 15.52 15.21 14.98 15.80 14.55 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 

  5 

11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.05  9.89  9.72  9.55  9.47  9.38  9.29  9.20   9.11 

  6 

 9.15  8.75  8.47  8.26  8.10  7.87  7.72  7.56  7.40  7.31  7.23  7.14  7.06  6.97 

  7 

 7.85  7.46  7.19  6.99  6.84  6.62  6.47  6.31  6.16  6.07  5.99  5.91  5.82  5.74 

  8 

 7.01  6.63  6.37  6.18  6.03  5.81  5.67  5.52  5.36  5.28  5.20  5.12  5.03  4.95 

 10 

 5.99  5.64  5.39  5.20  5.06  4.85  4.71  4.56  4.41  4.33  4.25  4.17  4.08  4.00 

 12 

 5.41  5.06  4.82  4.64  4.50  4.30  4.16  4.01  3.86  3.78  3.70  3.62  3.54  3.45 

 15 

 4.89  4.56  4.32  4.14  4.00  3.80  3.67  3.52  3.37  3.29  3.21  3.13  3.05  2.96 

 20 

 4.43  4.10  3.87  3.70  3.56  3.37  3.23  3.09  2.94  2.86  2.78  2.69  2.61  2.52 

 24 

 4.22  3.90  3.67  3.50  3.36  3.17  3.03  2.89  2.74  2.66  2.58  2.49  2.40  2.31 

 30 

 4.02  3.70  3.47  3.30  3.17  2.98  2.84  2.70  2.55  2.47  2.39  2.30  2.21   2.11 

 40 

 3.83  3.51  3.29  3.12  2.99  2.80  2.66  2.52  2.37  2.29  2.20 

 2.11  2.02  1.92 

 60 

 3.65  3.34  3.12  2.95  2.82  2.63  2.50  2.35  2.20  2.12  2.03  1.94  1.84  1.73 

120 

 3.48  3.17  2.96  2.79  2.66  2.47  2.34  2.19  2.03  1.95  1.86  1.76  1.66  1.53 

F1−α (ν1, ν2), α=0.005 

ν1 

ν2 

10 

12 

15 

20 

24 

30 

40 

60 

120 

  4 

23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 20.97 20.70 20.44 20.17 20.03 19.89 19.75 19.61 19.47 

  5 

15.56 14.94 14.51 14.20 13.96 13.62 13.38 13.15 12.90 12.78 12.66 12.53 12.40 12.27 

  6 

12.03  11.46  11.07 10.79 10.57 10.25 10.03  9.81  9.59  9.47  9.36  9.24  9.12  9.00 

  7 

10.05  9.52  9.16  8.89  8.68  8.38  8.18  7.97  7.75  7.65  7.53  7.42  7.31  7.19 

  8 

 8.81  8.30  7.95  7.69  7.50  7.21  7.01  6.81  6.61  6.50  6.40  6.29  6.18  6.06 

 10 

 7.34  6.87  6.54  6.30  6.12  5.85  5.66  5.47  5.27  5.17  5.07  4.97  4.86  4.75 

 12 

 6.52  6.07  5.76  5.52  5.35  5.09  4.91  4.72  4.53  4.43  4.33  4.23  4.12  4.01 

 15 

 5.80  5.37  5.07  4.85  4.67  4.42  4.25  4.07  3.88  3.79  3.69  3.58  3.48  3.37 

 20 

 5.17  4.76  4.47  4.26  4.09  3.85  3.68  3.50  3.32  3.22  3.12  3.02  2.92  2.81 

 24 

 4.89  4.49  4.20  3.99  3.83  3.59  3.42  3.25  3.06  2.97  2.87  2.77  2.66  2.55 

 30 

 4.62  4.23  3.95  3.74  3.58  3.34  3.18  3.01  2.82  2.73  2.63  2.52  2.42  2.30 

 40 

 4.37  3.99  3.71  3.51  3.35  3.12  2.95  2.78  2.60  2.50  2.40  2.30  2.18  2.06 

 60 

 4.14  3.76  3.49  3.29  3.13  2.90  2.74  2.57  2.39  2.29  2.19  2.08  1.96  1.83 

120 

 3.92  3.55  3.28  3.09  2.93  3.71  2.54  2.37  2.19  2.09  1.98  1.87  1.75  1.61 

出典:E. S. Pearson and H. O. Hartley, Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1 (1966) 
備考1. 補間を行う場合は, 

a) ν1,ν2が,10より大きく,20未満の場合には,引数をz=60/νとして補間を行う。 
b) ν1,ν2が,20より大きい場合には,引数をzʼ=120/νとして補間を行う。 

補間の具体的計算手順については,附属書A表2の備考1.を参照。 

備考2. 分位点Fα (ν1, ν2) は,P [F (ν1, ν2) ≦Fα (ν1, ν2)] =αを満たす点である。ただし,F (ν1, ν2) は分子の自由度ν1,

分母の自由ν2のF分布に従う確率変数である。 

したがって,P [F (ν1, ν2) >Fα (ν1, ν2)] =1−α, 
P [Fα/2 (ν1, ν2) <F (ν1,ν2) <F1−α/2 (ν1, ν2)] =1−αが成り立つ。 
更に,Fα (ν1, ν2) =

)

,

(

1

1

2

1

ν

ν

α

F

も成り立つ。 

分子の自由度ν1,分母の自由度ν2のF分布に従う確率変数F (ν1, ν2) の確率密度関数は,次のようになる(附

属書A図4参照)。 

background image

49 

Z 9041-2 : 1999  

2019年7月1日の法改正により名称が変わりました。まえがきを除き,本規格中の「日本工業規格」を「日本産業規格」に読み替えてください。 

附属書A図4 分子の自由度ν1,分母の自由度ν2のF (ν1, ν2) の確率密度 

品質管理分野国際整合化分科会 

(主査) 

○ 尾 島 善 一 

東京理科大学理工学部 

(委員) 

青 木 茂 雄 

財団法人日本科学技術連盟 

今 井 秀 孝 

工業技術院計量研究所 

柿 田 和 俊 

社団法人日本鉄鋼連盟 

加 藤 洋 一 

QCコンサルタント 

門 山   允 

元東京国際大学(故人) 

兼 子   毅 

武蔵工業大学 

◎ 椿   広 計 

筑波大学社会工学系 

仁 科   健 

名古屋工業大学工学部 

○ 野 澤 昌 弘 

東京理科大学経営学部 

三佐雄 武 雄 

QCコンサルタント 

宮 津   隆 

帝京科学大学理工学部 

○ 山 田   秀 

東京理科大学工学部 

○ 岸 本 淳 司 

株式会社SASインスティチュートジャパン 

横 尾 恒 雄 

QCコンサルタント 

大 島 清 治 

工業技術院標準部 

(事務局) 

竹 下 正 生 

財団法人日本規格協会 

安 田 順 子 

財団法人日本規格協会